Дорофеев Г. В. Алгебра. 7 класс


Глава 1. Дроби и проценты

...........................................................
(12 уроков)

Примерное поурочное планирование
учебного материала

Пункт учебника Число уроков
1.1. Сравнение дробей 2
1.2. Вычисления с рациональными числами 2
1.3. Степень с натуральным показателем 2
1.4. Задачи на проценты 3
1.5. Статистические характеристики 2
Зачет № 1 1

Основные цели: систематизировать и обобщить сведения об обыкновенных и десятичных дробях, научить учащихся пользоваться эквивалентными представлениями чисел в ходе решения задач, обеспечить на этой основе дальнейшее развитие вычислительных навыков и умений решать задачи на проценты, сформировать первоначальные умения статистического анализа больших массивов числовых данных.
Обзор главы. Курс 7 класса начинается с блока арифметических вопросов, своего рода «мостика» между 6 и 7 классами. Здесь еще раз, но уже на новом уровне уделяется внимание взаимосвязи обыкновенных и десятичных дробей, такому важному элементу вычислительной подготовки школьников, как умение сравнивать дроби, совершенствованию навыков выполнения действий с дробными числами. Формирование вычислительных умений продолжается при изучении пункта «Степень с натуральным показателем». Выполняя разнообразные задания с выражениями, содержащими степени, учащиеся одновременно накапливают знания о степенях, которые послужат основой для изучения в последующем свойств степени. В   систему упражнений включены задания с буквенными данными; это сделано с целью продолжить обучение числовым подстановкам, вычислению значений буквенных выражений; таким образом, последовательно проводится начатая в 5 классе идея «от чисел к буквам».
      В отдельный пункт в данной главе выделено решение задач на проценты. По сравнению с 6 классом, где проценты рассматривались дважды — в связи с изучением обыкновенных и десятичных дробей, здесь предлагаются некоторые новые типы задач; совершенствуется владение такими базовыми техническими приемами, как переход от процентов к дробям и обратно; уделяется внимание умению работать с «большими» процентами, с дробными процентами. Подчеркнем, что этот материал, помимо собственной учебной цели, выполняет еще одну важную функцию: он позволяет продемонстрировать применение математики в быту, в экономике, в социологии и т. д.
      Завершается глава пунктом «Статистические характеристики», в котором продолжается начатое в 5—6 классах изучение описательной статистики. Учащиеся знакомятся с такими понятиями описательной статистики, как среднее арифметическое, мода, размах, и приобретают первоначальные умения по их применению для анализа массивов числовых данных.
      Начиная с этой главы при решении задач предполагается регулярное использование калькулятора для выполнения громоздких вычислений. Здесь он применяется для нахождения приближенных десятичных значений обыкновенных дробей с большими знаменателями, для вычисления степеней с большими показателями, для получения ответа при решении некоторых задач на проценты, для вычисления статистических характеристик больших массивов числовых данных. Калькулятор позволяет обогатить систему упражнений, включить в нее экспериментальную работу с числами, задания с реальными числовыми данными, что важно с точки зрения усиления прикладного аспекта обучения, его практической ориентации. Но при этом его использование ни в коем случае не отменяет «ручные» вычисления. Наоборот, навыки оценки и прикидки результата, эффективные вычислительные приемы остаются весьма актуальными.
      В качестве необязательного материала в пункте «Для тех, кому интересно» предлагается небольшой фрагмент, посвященный исследованию последней цифры степени. В ходе выполнения упражнений учащимся придется экспериментировать с числами, подмечать закономерности, проводить несложные доказательные рассуждения.

1.1. Сравнение дробей

      Методический комментарий
      Основная цель этого пункта — развитие представлений учащихся о дробях, и прежде всего умений сравнивать дроби, которые формировались при изучении курса математики 5—6 классов (акцент здесь сделан на сравнение двух обыкновенных дробей, а также обыкновенной и десятичной дроби).
      Из курса 5 класса учащиеся знают, что для сравнения двух обыкновенных дробей с разными знаменателями их можно привести к одному и тому же знаменателю и затем воспользоваться правилом сравнения дробей с одинаковым знаменателем. Теперь им предлагается еще один общий прием сравнения двух обыкновенных дробей — так называемое «перекрестное правило»:
      чтобы сравнить дроби a b и c d , нужно сравнить произведения аd и и поставить между дробями a b и c d тот же знак неравенства, что и между произведениями аd и bс.
      Объяснение этого правила дано во вводной части пункта и проиллюстрировано примером 1. Чтобы помочь ученикам сопоставить старый и новый приемы сравнения обыкновенных дробей, можно предложить сравнить двумя способами дроби 11 18 и 7 12 . Если, применяя старый способ, в качестве общего знаменателя дробей взять произведение 18 · 12, то и в том, и в другом случае мы, в сущности, выполняем одни и те же действия, но зато при использовании перекрестного правила общий знаменатель дробей писать не надо. Если же для сравнения дробей старым способом ученики посчитают нужным привести их к наименьшему общему знаменателю, то они увидят, что старый и новый приемы существенно различаются в техническом отношении. В итоге важно подчеркнуть, что ученики имеют право пользоваться любым правилом сравнения обыкновенных дробей, выбирая то, которое им кажется понятнее и проще.
      Перед тем как перейти к примеру 2, в котором сравниваются обыкновенная дробь и десятичная, полезно вспомнить некоторые сведения о десятичных дробях. Прежде всего следует напомнить, что десятичные дроби, как и натуральные числа, сравниваются поразрядно — это удобный и легкий способ сравнения. Для проверки владения этим приемом можно предложить сравнить такие дроби:

0,318и0,381;0,251и0,3
0,0453и0,0454;0,0191и0,009 .
      Далее следует напомнить, что всякую десятичную дробь можно записать в виде обыкновенной (при этом само чтение десятичной дроби подсказывает, каков знаменатель у равной ей обыкновенной дроби), однако не всякую обыкновенную дробь можно записать в виде десятичной (так, дробь 1 3 нельзя представить в виде десятичной, а дробь 1 2 можно). Обратите внимание на используемую в учебниках терминологию: мы говорим о том, что обыкновенную дробь либо можно представить в виде десятичной, либо нельзя, т. е. на этом этапе мы отказываемся от использования терминов «конечная десятичная дробь» и «бесконечная десятичная дробь». Дело в том, что бесконечные десятичные дроби пока не рассматриваются и термин «конечная» попросту оказывается лишним — без противопоставления он не нужен. Такой подход упрощает систему используемых понятий. В дальнейшем при изучении темы «Действительные числа» система понятий, а значит, и система терминов будут уточнены и расширены; такой подход к введению понятий часто используется в математике.
      Из курса 6 класса учащимся известен признак, по которому можно узнать, обращается обыкновенная дробь в десятичную или нет:
      если знаменатель обыкновенной дроби не содержит никаких простых множителей, кроме 2 и 5, то эту обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной дроби;
      если знаменатель несократимой обыкновенной дроби содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5, то эту обыкновенную дробь нельзя представить в виде десятичной дроби.
      Знание критерия обратимости обыкновенной дроби в десятичную можно проверить с помощью упражнения 5. Его можно также дополнить такими заданиями:
      1) Какие из перечисленных ниже дробей нельзя представить в виде десятичной дроби:

2 3 ; 3 5 ; 1 6 ; 5 8 ; 7 12 ; 4 15 ; 9 20 ; 16 25 ?
      2) Представьте число в виде десятичной дроби, домножив числитель и знаменатель на подходящее число:

1 2 ; 1 4 ; 3 5 ; 1 20 ; 3 25 ; 7 50 .
      3) Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной дроби, выполнив «уголком» деление числителя на знаменатель:

5 8 ; 13 40 ; 7 16 .
      Разбирая пример 2 из учебника, полезно предложить учащимся сравнить дроби 5 8 и 0,65 двумя способами, обратив десятичную дробь в обыкновенную, а потом обыкновенную дробь в десятичную. Далее можно обсудить, какой способ, на их взгляд, лучше.
      В примере 3 для упорядочивания чисел предлагается еще один удобный в практическом отношении прием — замена обыкновенных дробей их приближенными значениями, выраженными десятичными дробями; при этом приближенные значения находятся с помощью калькулятора. Важно, чтобы учащиеся понимали, что в данном случае процесс деления числителя на знаменатель бесконечен и калькулятор просто обрывает его, а не показывает точный результат.
      В данном пункте калькулятор целесообразно применить при выполнении упражнения 12; выполнив техническую работу с помощью калькулятора, учащиеся смогут сосредоточиться на смысловой стороне выполняемых действий, а также поупражняться в сравнении десятичных дробей.
      Из упражнений раздела А в ходе классной работы можно выполнить следующие: 1, 2 (образец, б, г), 4 (а), 5, 6 (а, в), 7, 8 (б, г), 10 (а), 11 (а, в), 12 (обсудить идею и оформление ответа, вычислительную работу — на дом), 13. В упражнениях из раздела Б содержатся некоторые новые идеи. Так, при решении задач 15 и 16 нужно будет выполнить перебор всех возможных вариантов (с этим приемом учащиеся знакомы уже с 5 класса); ответ на вопрос задачи 18 получается с помощью непосредственной подстановки (никакого решения неравенств здесь не предполагается). Такие задания, как 16 и 19, — для сильных учащихся.
      В классах с невысоким уровнем подготовки можно ограничиться упражнениями 1, 3, 4, 69, 11, 12. При наличии времени можно выполнить также упражнения 13, 18 (а, б).

      Комментарий к упражнениям

      2. При сравнении чисел в качестве «промежуточного» числа можно брать не только 1 2 , но и другие удобные числа, например 1 4 , 1, 2.
      10. а) Легко расположить в порядке убывания первые три числа: 1 3 >0,33>0,3 , но 1 3 < 4 11 (так как 1 · 11 < 3 · 4), поэтому 4 11 > 1 3 >0,33>0,3 .
      11. Сначала правило сравнения отрицательных чисел нужно повторить на целых числах.
      а) Так как 5 19 > 2 9 , то 5 19 < 2 9 .
      12. Доля качественных телевизоров выражается отношением числа телевизоров, признанных годными, к числу выпущенных телевизоров. Каждое отношение выразим приближенно десятичной дробью (можно посоветовать учащимся округлять результаты до тысячных — этого достаточно для сравнения): 0,970; 0,976; 0,988; 0,977; 0,971; 0,962.
      Вывод: завод работал лучше всего в среду, хуже всего в субботу.
      15. Всего шесть дробей: 11 12 ; 11 13 ; 12 11 ; 12 13 ; 13 11 ; 13 12 . Найдем среди них дроби, меньшие единицы, и расположим их в порядке возрастания: 11 13 ; 11 12 ; 12 13 . Сравним оставшиеся дроби с единицей: дробь 12 11 больше 1 на 1 11 , дробь  13 11 — на 2 11 13 12 — на 1 12 , поэтому 13 12 < 12 11 < 13 11 . Запишем все дроби в порядке возрастания: 11 13 ; 11 12 ; 12 13 ; 13 12 ; 12 11 ; 13 11 .
      16. Имеем восемь простых чисел: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37. Числителем дроби может быть любое из этих восьми чисел. Для каждого числителя в качестве знаменателя можно взять любое из семи оставшихся чисел. Всего получим 8 · 7 = 56 различных дробей: наименьшая из них 11 37 , наибольшая 37 11 . Восемь из составленных дробей меньше 1 2 . В самом деле, с числителем 11 — это дроби 11 23 ; 11 29 ; 11 31 ; 11 37 , с числителем 13 — это дроби 13 29 , 13 31 , 13 37 , с числителем 17 — это дробь 17 37 .
      17. Сравним данные дроби с 1: m < 1, n < 1, а k > 1. Значит, верен один из ответов В или Г. Число m отличается от 1 на 1 110 , а число n — на 1 120 , т. е. n ближе к 1, чем m. Таким образом, m < n. (Сделайте рисунок.)
      Ответ: В.
      18. Нужно подставлять последовательно натуральные числа 1, 2, 3 и т. д.; решение неравенства не предполагается.

1.2. Вычисления с рациональными числами

      Методический комментарий

      Назначение данного пункта — восстановление и развитие умений выполнять действия с дробными числами, в том числе и с отрицательными дробями.
      Идея, которая иллюстрируется примером 1, разобранным в объяснительном тексте, созвучна с содержанием предыдущего пункта: если среди компонентов действия есть и обыкновенные, и десятичные дроби, то их следует привести к одной форме. Учащимся легче будет выполнять подобного рода вычисления, если они будут помнить наизусть некоторые часто встречающиеся факты: например, такие дроби, как 1 2 ; 1 4 ; 1 5 ; 1 20 ; 1 25 ; 1 50 , обращаются в десятичные, а дроби 1 3 и 1 6 не обращаются. Полезно также знать некоторые эквивалентные представления дробных чисел, например:

1 2 =0,5;0,25= 1 4 ;0,2= 1 5 .
      Целесообразно также, приступая к упражнениям, рассмотреть упражнение 20 сначала целиком и для каждого содержащегося в нем задания ответить на вопрос, в каких дробях следует выполнять действие — в обыкновенных или в десятичных.
      В примере 2 разобран уже знакомый учащимся эффективный прием вычисления значений выражения вида а · b : с (или а : b · с, или а : b : с), содержащих деление на десятичную дробь. Этот прием в общем случае состоит из трех шагов, каждый из которых предполагает владение соответствующим умением: переход к записи выражения с помощью дробной черты; умножение числителя и знаменателя полученной дроби на такую степень числа 10, которая позволила бы заменить все дробные числа целыми; сокращение дроби. При необходимости для пошаговой отработки приема можно использовать выражения из упражнений 23—25.
      Особого внимания требует пример 3, в котором вычисляется числовое значение буквенного выражения, т. е. действия с числами здесь выступают уже в роли «технического средства» для достижения цели. Такого рода задания неоднократно включались в систему упражнений в 6 классе. Однако теперь ученики должны перейти на другой уровень осознанности. В активный словарный запас учащихся должны войти термины «значение выражения», «числовая подстановка». (Заметим, что термин «переменная» будет введен позже.) Главным результатом изучения данного пункта должно стать умение выполнять числовые подстановки в буквенные выражения. В связи с этим следует обратить внимание на комментарий к примеру 3. В нем указаны все моменты, на которых надо акцентировать внимание учащихся при выполнении числовых подстановок. Это поможет предупредить многие характерные ошибки. Так, при подстановке в выражение х − у чисел х = −3 и у = −4 учащиеся иногда дают такой ответ: 3 − 4. Поэтому важно, чтобы числовая подстановка достаточно долго выполнялась с подробной записью.
      В классах с невысоким уровнем подготовки рекомендуем прежде всего обратить внимание на следующие упражнения из раздела А: 20, 21, 23 (а, б), 24—29, 31. Из раздела Б рекомендуем выполнить упражнение 35. Оно интересно тем, что информация о числах дается в геометрической форме и требуется перейти с геометрического языка на алгебраический. Кроме того, есть простой, доступный каждому ученику способ выбора верного ответа: можно заменить буквы подходящими целыми числами и вычислить указанные выражения.

      Комментарий к упражнениям

      20. Каждый раз обсуждается вопрос о том, какая форма представления дробей будет использоваться. Перед выполнением заданий «д» — «з» нужно вспомнить правила действий с отрицательными числами на простых примерах с целыми данными (особенно это важно в слабом классе).
      21. Рекомендуем в каждом случае сопоставить примеры и обсудить порядок выполнения действий.
      23. Запись выражения с помощью дробной черты — трудный момент. Важно, чтобы при переходе к записи в виде дроби не менялся порядок действий. Можно восстановить скобки как группирующий символ.
      б) ( 2,4:1,08 )0,15= 2,4 1,08 0,15= 2,40,15 1,08 =... .
      24. Каждый знак деления надо заменить дробной чертой.
      в)  ( 0,324:1,08 ):0,033= 0,324 1,08 :0,033= = 0,324100000 1,080,033100000 = 32400 10833 = 100 11 =9 1 11 .
      29. Можно сначала показать, что в каждом случае берется число, противоположное числу, заключенному в скобках. Например, −(x + y) — это число, противоположное сумме x + y. Поэтому возможно такое решение:

x+y= 1 3 +0,5= 1 3 + 1 2 = 1 6 ,( x+y )= 1 6 .
      А можно сразу подставлять числа в данное выражение.
      30. В слабом классе советуем вычислять значения выражений по действиям.
      31. Подставляя числа вместо букв, получим «многоэтажную» дробь, для вычисления значения которой целесообразно использовать основное свойство дроби.
      а) При m = 2, n= 2 3 имеем mn m = 2+ 2 3 2 = ( 2+ 2 3 )3 23 =
= 6+2 6 = 4 3 =1 1 3 .
      32. Выполнению задания предшествовало задание 24 (в, г). Теперь рассматриваются буквенные выражения.
      г) ( a:b ):( c:d )= ad bc .

1.3. Степень с натуральным показателем

      Методический комментарий

      Изучение степени с натуральным показателем в 7 классе осуществляется в два этапа. Основная цель данного пункта — накопление знаний о степенях на основе практического опыта, создание своего рода основы для последующей формализации (см. гл. 6).
      Из курса математики 5—6 классов учащиеся знают, что означают такие числовые выражения, как, например, 63, (−0,5)4, есть у них и некоторый опыт вычисления степеней. В результате изучения данного пункта они должны твердо знать обозначение степени в общем виде и соответствующую терминологию, использовать степени в записи разложения чисел на простые множители, в представлении числа в виде суммы разрядных слагаемых. Кроме того, они должны познакомиться с записью больших и малых чисел с помощью степени числа 10. Наконец, учащиеся должны научиться находить значения степеней с отрицательными основаниями, а также знать, как зависит знак степени с отрицательным основанием от того, четным или нечетным числом является показатель степени.
      Подчеркнем, что все упражнения к пункту выполняются лишь на основе знания того, что выражение аn, где n — натуральное число, большее 1, означает произведение n множителей, равных а. Никакими формальными правилами действий со степенями учащиеся пока не владеют, и такие упражнения, как, например, 45 и 46, они должны выполнять по смыслу, опираясь только на указанное определение.
      Упражнения раздела А весьма разнообразны и позволяют рассмотреть все основные аспекты изучаемого вопроса. В классах с невысоким уровнем подготовки рекомендуем ограничиться упражнениями раздела А (возможно, кроме упражнений 45, 48, 51, 52, 53, 60).

      Комментарий к упражнениям

      43. Представить степень в виде произведения степеней с одинаковыми основаниями можно разными способами. Например, 57 = 52 · 55 или 57 = 53 · 54, 510 = 55 · 55 или 510 = 52 · 53 · 55.
      44. г) 729 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 36,
               729 = (3 · 3) · (3 · 3) · (3 · 3) = 93,
               729 = (3 · 3 · 3) · (3 · 3 · 3) = 272.
      45. Полезно (но необязательно) вспомнить комбинаторику и указать все возможные варианты такого представления для п. «а». В пп. «б» и «в» сделать это труднее, и такая постановка вопроса возможна только для сильных учащихся.
      а) Возможны такие варианты: 31 · 37 = 32 · 36 = 33 · 35 = 34 · 34.
      б) Переберем все варианты. Для этого поступим следующим образом: «зафиксируем» один из показателей и переберем все возможные варианты двух других. Получим пять вариантов:

3 1 3 1 3 6 = 3 1 3 2 3 5 = 3 1 3 3 3 4 = = 3 2 3 1 3 5 = 3 2 3 2 3 4 = 3 2 3 3 3 3 = = 3 3 3 1 3 4 = 3 3 3 2 3 3 = 3 4 3 1 3 3 = = 3 4 3 2 3 2 = 3 5 3 1 3 2 = 3 6 3 1 3 1 .
      Повторяющиеся варианты вычеркнуты. Их можно было сразу не писать, но учащимся так рассуждать легче.
      47. Полезно сопоставить структуру данных выражений и обсудить, чем они отличаются и как это влияет на порядок действий.
      48. (30 : 5) − 103 = −994,     30 : (5 − 103) = −0,03,
            (30 : 5 − 10)3 = −64,       30 : (5 − 10)3 = −3750.
      50. Таблицу удобно заполнять по столбцам, вычисляя последовательно значения степеней числа a. Для выполнения второго задания также нужно анализировать таблицу по столбцам. Ответ нужно давать в письменном виде. Например, a = a2 при a = 0 и a = 1.
      53. Выполняется письменно.
      Например, −(−(−28))2 = −(28)2 = −282 = −784.
      60. 1см= 1 100 м= 1 10 2 м= 10 2 м ,
             1мм= 1 1000 м= 1 10 3 м= 10 3 м ,
             1мк= 1 1000000 м= 1 10 6 м= 10 6 м .
      61. б) υ = 300 000 км/с = 300 000 000 м/с = 3 · 108 м/с.
      62. в) r=1,4 10 7 =1,4 1 10000000 =0,00000014 (мм).
      63. Разности в скобках отличаются только знаками, т. е. они являются противоположными числами. Так как 2,8 − 3,4 < 0 и (2,8 − 3,4)3< 0, то (2,8 − 3,4)3 = −(3,4 − 2,8)3. Так как (3,4 − 2,8)3 > 0 и −(2,8 − 3,4)3 > 0, то значения этих выражений противоположны числу (2,8 − 3,4)3.
      Приведем другое решение.
      Упростим данное выражение: (2,8 − 3,4)3 = (−0,6)3.
      Преобразуем другие выражения:

( 3,42,8 ) 3 = 0,6 3 , ( 2,83,4 ) 3 = ( 0,6 ) 3 = 0,6 3 , ( 3,42,8 ) 3 = 0,6 3 .       Теперь легко сделать вывод.
      65. Ответ: а) −1,22, −1,2, 1,2, (−1,2)2;
б) −0,15, (−0,15)3, (−0,15)2, 0,15.
      68. Ответ: соответственно при n = 3, n = 5, n = 8, n = 51.
      69. Через 4 недели соответственно имеем:
      100 + 4 · 100 = 500 (р.), 100 · 1,44 ≈ 384 (р.).
      Таким образом, если копить деньги в течение 4 недель, то первый способ выгоднее.
      Через 6 недель соответственно имеем:
      100 + 6 · 100 = 700 (р.), 100 · 1,46 ≈ 753 (р.).
      Таким образом, если копить деньги в течение 6 недель, то второй способ выгоднее.
      Через полгода, т. е. через 24 недели, соответственно имеем:
      100 + 24 ·100 = 2500 (р.), 100 · 1,424 ≈ 321 420 (р.).
      Мы видим резкий рост результата при втором способе увеличения суммы. Этот эффект дает возведение в степень.
      70. Возьмите лист бумаги и проделайте с ним описанные манипуляции. Ученики увидят, что при каждом перегибании толщина удваивается. Получаем:
      при первом перегибании — 0,1 · 2 мм,
      при втором перегибании — (0,1 · 2) · 2 мм = 0,1 · 22 мм,
      при третьем перегибании  — (0,1 · 22) · 2 мм = 0,1 · 23 мм.
      Понятно, что после шестого перегибания получим 0,1 · 26 ≈ 6,4 мм.
      71. 3) Имеем 1 2 + ( 1 2 ) 2 + ( 1 2 ) 3 +...+ ( 1 2 ) 10 =1 ( 1 2 ) 10 = 1023 1024 .

1.4. Задачи на проценты

       Методический комментарий

      Первое знакомство с процентами при работе по данной системе учебников происходит в 6 классе. Там проценты рассматривались дважды: сначала в процессе второго «прохода» обыкновенных дробей, а затем при изучении десятичных дробей.
      Материал 7 класса позволяет вспомнить известные сведения о процентах и продвинуться в решении задач. Прежде всего нужно обратить внимание на владение приемами перехода от процентов к дробям и наоборот, в том числе в сложных случаях, когда речь идет о дробных процентах, а также о «больших» процентах. В учебнике приведены соответствующие правила. Однако, как показывает опыт, эти правила усваиваются плохо и их формальное применение приводит к ошибкам. Поэтому в случае затруднений можно посоветовать ученикам при решении задач действовать по смыслу или по аналогии с более простым примером. При этом нужно знать лишь, что такое «процент», и в рассуждениях заменять слово «сотая» словом «процент» и наоборот. А к более краткому выполнению действий по правилам они придут по мере накопления опыта.
      Например, перейдем от дроби 0,56 к процентам: 0,56= 56 100 (читается: 56 сотых), а  1 100 — это 1 процент, значит,  56 100 — это 56%. Точно так же 0,563= 56,3 100 , т. е. 0,563 — это 56,3%; 1,34= 134 100 , т. е. 1,34 — это 134%. Подчеркиваем, что во всех случаях при переходе от десятичной дроби к процентам мы умножаем дробь на 100, т. е. переносим запятую на 2 знака вправо.
      Выразим 56% десятичной дробью: 56% — это 56 100 , т. е. 56% — это 0,56. Точно так же 56,3% — это 56,3 100 =0,563 ; 134% — это 134 100 =1,34 . Во всех случаях при переходе от процентов к десятичной дроби мы делим дробь на 100, т. е. переносим запятую на 2 знака влево.
      Задачи к пункту весьма разнообразны. Они не только позволяют вырабатывать необходимые навыки, но и демонстрируют типичные ситуации использования процентов в жизни, широту применения этого понятия.
      Типичные приемы рассуждений, используемые при решении задач, рассмотрены в примерах, приведенных в объяснительном тексте. В классах с невысоким уровнем подготовки рекомендуем ограничиться задачами раздела А, причем акцент можно сделать на задачах двух видов — нахождение указанного числа процентов от величины (упражнения 73—76, 81, 82) и выражение отношения величин в процентах (упражнения 83 и 84); именно такие задачи представлены в заданиях для самопроверки. В ходе классной работы из задач раздела А рекомендуем рассмотреть упражнения 72, 73 (частично), 74 (частично), 75, 76 (а), 77 (а), 78, 80, 81 (а), 84. Задачу 82 можно предложить решить дома, а затем в классе разобрать другое, оригинальное решение (см. указание). Задачи раздела Б более сложные, кроме того, все они разные. В то же время в сильном классе при наличии времени можно разнообразить систему упражнений еще и за счет задач из раздела «Дополнительные задания к главе 1». Заметим также, что с решением задач на проценты учащиеся встретятся еще в 8 и 9 классах.

      Комментарий к упражнениям

      74. Часть величины, заданную в процентах, выразим десятичной дробью и найдем дробь от данной величины. Например, для железа: 0,07% — это 0,0007; получим 250 · 0,0007 = 0,175 (мг).
      75. б) За счет премии сумма выплат в декабре увеличилась на 250% и составила 100% + 250% = 350%, значит, она увеличилась в 3,5 раза, так как 350 100 =3,5 . Имеем 7500 · 3,5 = 26 250 (р.).
      76. б) 80% (это 0,8) — такая часть учащихся школы занимается в спортивных секциях; 5% (это 0,05) — часть учащихся, занимающихся в спортивных секциях, занимается также и в шахматной.
      1-й способ решения:
      1) 850 · 0,8 = 680 (уч.) — такое число учащихся занимается в спортивных секциях
      2) 680 · 0,05 = 34 (уч.) — такое число учащихся занимается в шахматной секции.
      2-й способ решения:
      1) 0,8 · 0,05 = 0,04 — такая часть всех учащихся школы занимается в шахматной секции;
      2) 850 · 0,04 = 34 (уч.) — такое число учащихся занимается в шахматной секции.
      78—80. Каждое задание включает две задачи: прямую — на нахождение процента от величины и обратную — на нахождение величины по проценту. Задачи рекомендуется рассмотреть параллельно и обязательно сопоставить.
      82. Кроме прямого и длинного решения по действиям, возможно следующее решение. Товар выгоднее купить там, где он дешевле. В магазине после двух уценок товар стоит 350 · 0,6 · 0,95 (р.), в супермаркете — 350 · 0,95 × 0,6 (р.), т. е. столько же, сколько в магазине, а на ярмарке после уценки товар стоит 350 · 0,55 (р.).
      Так как 0,6 · 0,95 = 0,57 > 0,55, то правильный ответ: на ярмарке.
      83. h = 60 м, a = 1,5 км. Выразим величины в метрах и найдем отношение h к a. Имеем 60 1500 = 1 25 =0,04 , т. е. 4%.
      86. а) Число детей в детском саду составляет 100%.
      1) 100% − 10% = 90% — столько процентов детей детского сада выехало на дачу;
      2) 180 детей составляют 90%, т. е. 0,9 всех детей, 180 : 0,9 = 200 (детей) — столько детей в детском саду.
      88. а) 1) 2 · 0,2 = 0,4 (кг) — масса жира в жирном твороге;
      2) 3 · 0,05 = 0,15 (кг) — масса жира в нежирном твороге;
      3) 0,4 + 0,15 = 0,55 (кг) — масса жира в смеси;
      4) 0,55 : 5 = 0,11, т. е. 11% — процент жирности смеси.
      89. Такие задачи традиционно сложны для учащихся, так как здесь надо использовать формальное правило нахождения процента от данной величины. Можно предварительно разобрать более простые задачи. Например, найти 50% от 50% (т. е.  1 2 от 50%), 10% от 30% (т. е.  1 10 от 30%) и т. д. Найдем 40% от 65%. Имеем 65% · 0,4 = 26%.
      90. Если первоначальная цена товара 100%, то цена, увеличенная на 20%, составляет 120%, или 1,2 первоначальной цены. После праздничной скидки на 30% цена составила 0,7 предыдущей. Имеем 1,2 · 0,7 = 0,84, т. е. цена товара составит 84% от первоначальной цены.
      Вывод: скидка фактически составляет 16%.
      92. 1) Найдем 16% от 50%:
      16% — это 0,16; 50% · 0,16 = 8% — такой процент учащихся школы составляют девочки-спортсменки;
      2) найдем 28% от 50%:
      28% — это 0,28; 50% · 0,28 = 14% — такой процент от учащихся школы составляют мальчики-спортсмены;
      3) 8% + 14% = 22% — столько процентов составляют школьники, которые занимаются в спортивных секциях.
      93. б) Примем цену тарелки за 100% и изобразим ее в виде отрезка (рис. 1, а). Тогда цене блюдца соответствует отрезок, равный 4 5 данного.
      Чтобы ответить на вопрос задачи, примем теперь цену блюдца за 100% (рис. 1, б). Получаем, что цена тарелки составляет 125% цены блюдца (125% — это 5 4 ). Значит, тарелка в 1,25 раза дороже блюдца, или на 25% дороже блюдца.

      в) Рассуждая аналогично, представим условие в виде рисунка (рис. 2, а). Чтобы узнать, какую часть стоимости чашки составляет стоимость блюдца, цену чашки примем за 100% (рис. 2, б). Тогда из рисунка видно, что стоимость блюдца составляет 5 6 стоимости чашки, или в процентах:
5 6 100%=83 1 3 % .

      Далее имеем 100%83 1 3 %=16 2 3 %       на столько процентов блюдце дешевле чашки.
      Ответ можно дать в виде десятичной дроби, округлив ее до десятых:
16 2 3 %=16,66...%16,7% .       г) Проиллюстрируем повышение цены книги на 10% (рис. 3, а).
      Приняв новую цену книги за 100% (рис. 3, б), получаем, что ее старая цена составляет

10 11 ,или 10100 11 %=90 10 11 %новойцены .
      Поэтому цена снижена на
100%90 10 11 %=9 1 11 % .

1.5. Статистические характеристики

       Методический комментарий

      В этом пункте продолжается знакомство учащихся с описательной статистикой, начатое в 5 и 6 классах, где рассматривались наглядные способы представления информации — таблицы и диаграммы. Основная цель данного пункта — формирование первоначальных представлений о статистическом анализе ряда данных. Учащиеся знакомятся с такими простейшими статистическими характеристиками, как среднее арифметическое, мода и размах. Разнообразные по сюжетам упражнения позволят учащимся не только поупражняться в нахождении этих характеристик, но и увидеть сферу их практического применения, различные содержательные интерпретации. Так, средний рост солдата — это среднее арифметическое приведенного ряда (см. упражнение 97); размер обуви, пользующийся наибольшим спросом, — это мода ряда размеров (см. упражнение 98); средний балл спортсмена — это среднее арифметическое выставленных оценок (см. упражнение 101).
      Все упражнения к пункту в принципе не являются трудными (кроме упражнения 109 — задачи-исследования). Но нужно иметь в виду, что при выполнении заданий раздела Б следует пользоваться вторым способом вычисления среднего арифметического, разобранным в тексте учебника.
      В классах с невысоким уровнем подготовки рекомендуем, кроме задач раздела А, разобрать еще, например, упражнения 103 и 108. В ходе классной работы целесообразно выполнить упражнения 94 (а), 95, 96 (а, б), 97, 100, 102, 103, 105, 107, 108. Для работы дома: упражнения 98, 99, 101, 104, 106.

      Комментарий к упражнениям

      103—105. В задачах при нахождении среднего арифметического нужно сумму одинаковых слагаемых заменять соответствующим произведением, как это показано в объяснительном тексте учебника.
      104. Мода равна 4, так как оценку «4» получили 12 человек (наибольшее количество). Средний результат по контрольной работе находим, разделив общую сумму баллов на количество учеников, писавших работу.
      107. б) Указание. Умножьте среднее арифметическое на 1200.
      108. Он, скорее всего, вычислил для каждой группы сотрудников среднее арифметическое пропущенных дней. В первом случае это ≈ 3,7 дня, а во втором — ≈ 1,65 дня.
      109. 2) Выводы делаются на основе наблюдений при выполнении первого задания.
      а) Среднее арифметическое и мода ряда увеличатся на это же число, размах не изменится.
      б) Среднее арифметическое, мода ряда и размах изменятся во столько же раз.

1.6. Последняя цифра степени
(Для тех, кому интересно)

      Методический комментарий

      В этом пункте представлен материал, который может оказаться вполне посильным и интересным для многих учащихся. Интерес может вызвать уже то, что, оказывается, совсем нетрудно узнать, какой цифрой оканчивается такое огромное число, как, например, 2100. Для этого нужно немного поэкспериментировать и подметить закономерность, по которой меняется последняя цифра степени с основанием 2.
      Из опорных умений, необходимых для выполнения упражнений к данному пункту, помимо умения возводить последовательно число в натуральную степень, нужно еще уметь выполнять деление с остатком.

      Комментарий к упражнениям

      110. Будем последовательно возводить в степень число 3 и наблюдать, как меняется последняя цифра:
      31 = 3,  32 = 9,  33 = 27,  34 = 81,  35 = 243 и т. д.
      Таким образом, степени числа 3 могут оканчиваться цифрами 3, 9, 7 и 1, которые повторяются через четыре шага.
      Так как 10 = 4 · 2 + 2, то степень числа 310 оканчивается такой же цифрой, что и число 32, т. е. цифрой 9. Так как 15 = 4 · 3 + 3, то степень числа 315 оканчивается цифрой 7; так как 120 кратно 4, то степень числа 3120 оканчивается цифрой 1; так как 126 = 4 · 32 + 2, то степень числа 3126 оканчивается цифрой 9.
      111. Имеем 71 = 7, 72 = 49, 73 = 343, 74 = 2401, 75 = 16 807, т. е. через четыре шага последние цифры повторяются. Таким образом, степени числа 7 оканчиваются цифрами 7, 9, 3, 1.
      112. При делении показателя 10 на 4 в остатке получается число 2. Такой же остаток получается при делении на 4 показателя 102. Значит, числа 210 и 2102 оканчиваются одной и той же цифрой.
      113. Указание. Докажите, что при делении чисел 33, 333 и 3333 на 4 получается один и тот же остаток.
      114. Это числа 5 и 6, а также любые числа, оканчивающиеся цифрами 0, 1, 5, 6.
      115. Числа 4m и 4n оканчиваются одной и той же цифрой, если числа m и n оба четные или оба нечетные.
      116. Сумма 1114 · 322 делится на 10, так как слагаемое 1114 оканчивается цифрой 1, слагаемое 322 — цифрой 9, а их сумма — цифрой 0. Разность 720 − 910 делится на 10, так как уменьшаемое 720 оканчивается цифрой 1, вычитаемое 910 — также цифрой 1, а значит, разность — цифрой 0. Произведение 1215 · 1512 содержит множители 2 и 5, а следовательно, делится на 10.

Дополнительные задания к главе 1

      Указания и решения

      118. Имеем 2468 13579 = 128 315 > 1 3 , так как 1 3 от 315 составляет 105.
      119. а) Преобразуем каждую дробь с помощью основного свойства дроби и вычислим ее значение:

1,460,281000 0,240,2211000 = 14628 24221 = 7 3 =2 1 3 ,
6,99,60,0510000 40,3610000 = 69965 436100 = 230 100 =2,3 .
      Сравним результаты: 2 1 3 >2,3 . Значит, первая дробь больше.
      125. а) Значение первого выражения равно 13 64 , а значение второго равно 11 27 . Так как 13 64 < 11 27 , то 13 64 > 11 27 .
      127. б) 2 кг составляют 32% массы, т. е. 0,32; 2 : 0,32 = 6,25 (кг) — столько было винограда.
      128. б) 2000 р. должны «вернуться» к покупателю. Это произойдет в том случае, если 10% (т. е. 0,1) стоимости покупаемого товара составят не менее 2000 р. Имеем 2000 : 0,1 = 20 000 (р.) — на такую минимальную сумму покупателю надо приобрести товар в течение года.
      129. Старшеклассников на 30% больше, чем студентов, и эти 30% составляют 252 человека. Имеем 252 : 0,3 = 840 — столько спортсменов участвуют в кроссе.
      132. Из 1 кг неочищенных орехов получится 0,4 кг очищенных орехов. Если 0,4 кг очищенных орехов стоят 100 р., то 1 кг таких орехов стоит 100 0,4 =250 (p.).
      133. 1) 1000 · 0,045 = 45 (кг) — столько килограммов жира в 1000 кг молока;
      2) 45 : 0,75 = 60 (кг) — столько килограммов сливочного масла можно получить из 1000 кг молока.
      137. Разделим 100% пропорционально числам 5 и 3. Получим: в пансионате 62,5% всех номеров составляют однокомнатные номера и 37,5% — двухкомнатные номера. Тогда 62,5% · 0,16 = 10% однокомнатных и 37,5% · 0,04 = 1,5% двухкомнатных номеров, т. е. всего 11,5% номеров оборудовано для отдыхающих с детьми.
      138. Среднее арифметическое равно этому же числу.
      139. Такими являются, например, числа 2, 5, 8. В самом деле, 2+5+8 3 =5 .
      Таких примеров можно придумать сколько угодно; нужно, чтобы сумма первого и третьего числа была равна удвоенному второму числу.
      Совпадать с наибольшим или с наименьшим из трех чисел среднее арифметическое не может. (Это легко доказать от противного.)
      140. а) Например, 1, 5, 6, 8. В самом деле,

1+5+6+8 4 =5 .
      Поясним идею решения задачи. Должно выполняться условие a 1 + a 2 + a 3 + a 4 4 = a 2 . Значит, a1 + a3 + a4 = 3a2. Таким образом, сумма первого, третьего и четвертого чисел должна равняться утроенному второму числу.
      141. а) По условию a 1 + a 2 +...+ a 10 10 =4 , значит, a1 + a2 + ... + a10 = 40.
      б) Всего в ряду 7 чисел, и их среднее арифметическое равно 14. Составим уравнение

2 + 7 +10 + x + 18 + 19 + 27 = 14 · 7.

      Упростив его, получим x + 83 = 98. Найдем неизвестное число: x = 15.
      142. а) Сумма десяти чисел равна 50. Если к ряду этих чисел приписать число 16, то сумма будет равна 66, а чисел станет 11. Найдем среднее арифметическое: 66 11 =6 .
      б) Среднее арифметическое равно частному 3211 7 =3 .
      143. Среднее арифметическое равно частному

158+1412 8+12 =14,4 .

<<Предыдущий раздел <Содержание> Следующий раздел>>